Lorsqu'on joue une note avec un intrument, celui-ci sonne à une frequence :math:`f_0` (appelée *fondamentale*) ainsi qu'à plusieurs multiples de cette fréquence :math:`f_i=(i+1)\times f_0` (appelées *harmoniques*).
En jouant un do, on entends cette superposition de la fondamentale et de ces harmoniques.
Chacunes des harmoniques corresponds à l'une des 12 notes de musique jouées à des hauteurs (:ref:`octave <intervalles>`) différentes.
..list-table:: Associations fréquences, notes et intervalles (`source <http://decouverte.orgue.free.fr/r_harmon.htm>`__). Le do 0 est le do du premier octave, do 1 est celui du second etc.
L'origine des termes octave, quinte tierce etc, sera détaillé dans un :ref:`prochain chapitre <intervalles>`.
Ces intervalles correspondent à la distance entre l'harmonique considéré :math:`f_i`, et la fondamental :math:`f_0`, lorsque :math:`f_i` est ramené sur le même octave que :math:`f_0`.
..note::
La distance entre une fréquence :math:`f_a` et :math:`f_b` se calcule en faisant un ratio :math:`\frac{f_a}{f_b}`.
Diviser ou multiplier une fréquence par deux ne change pas la note.
Ainsi, en divisant par deux autant de fois que nécessaire jusqu'à ce que :math:`f_0 \le f_i \le 2f_0` on ramène l'harmonique à l'octave de la fondamentale.
Ainsi, la dernière quinte de la gamme Pythagoricienne ne sonne pas *juste*.
..figure:: figures/quinte_loup.jpg
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Quinte du loup
De la même manière, l'intervalles de Tierce majeurs (de do à ré) ne tombe pas juste.
Pour résoudre ce problème, on pouvait utiliser le *tempérament mésotonique* (au lieu de multiplier par :math:`\frac{3}{2}`, on multipli par :math:`1.495^4` pour calculer les quintes).
Grace à cela, les tierces tombents juste! Au prix de quintes qui le sont un peu moin.
Par contre, cela agrave la quinte du loup.
En réalité, il y a plusieurs *tempérament mésotoniques*!
Chaque musiciens utilisait celui qui permettait de s'accommoder au mieux à ça pratique.
On choisisait les accords qui sonnent le mieux avec le *tempérament mésotoniques* utilisé.
..note::
Excellentes vidéos sur le sujet: `Antoine Houlou-Garcia <https://www.youtube.com/watch?v=RO5qmvgTH5E>`__, `ScienceÉtonnante <https://www.youtube.com/watch?v=cTYvCpLRwao>`__
Il est possible de recontruire l'ensemble des notes d'une tonalité (ce terme sera dévelopé plus tard) pour que toutes les intervalles tombent justent (`source <https://www.youtube.com/watch?v=cTYvCpLRwao&t=383s>`__). On appelle cela, la *gamme naturelle* ou *gamme juste* ou *gamme du physicien*.
Sauf qu'on ne pourra pas changer de tonalité sans que celle-ci soit dissonante!
Pour cela, il suffit de connaitre les ratios exactes de tierce (:math:`\frac{3}{2}`) ou de quintes (:math:`\frac{5}{4}`) et de contruire l'ensemble des notes avec.
Grâce à cette approche, on peu en déduire les valeurs théoriques de chacune des intervalles en musique.
Par example, pour la seconde majeur, on sait que la deuxième quinte de do est ré (intervalle de seconde majeur). On sait également que :math:`f_{do}=261.63` Hz. Ainsi, :math:`f_{ré}=\frac{\frac{3}{2}^2f_{do}}{\underbrace{2}_{\text{Ramène la note à l'octave}}}=294.3293` Hz. En faisant le rapport des fréquences on obtient le ratio d'une seconde majeur :math:`\frac{294.3293}{261.63}=1.125=\frac{9}{8}`.
