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Harmoniques
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Timbre
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Lorsque l'on joue une note à l'aide d'un intruments, celui-ci sonne à
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une frequence :math:`f_0` (appelée *fondamentale*) ainsi qu'à plusieurs
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multiples de cette fréquence :math:`f_i=(i+1)\times f_0` (appelées *harmoniques*).
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Ainsi, un lorsque l'on joue un do, on entends la superposition de la fondamentale et de ces harmoniques.
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Chacunes de ces harmoniques corresponds à l'une des 12 notes de musique jouée à des hauteurs (octaves) différentes.
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.. figure:: figures/harmoniques.svg
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:width: 500px
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:align: center
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Représentation des harmoniques d'une fréquence :math:`f_0` (tout en haut)
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Le *timbre* corresponds aux caracteristiques propres au son d'un
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instruments, ce qui permet de le reconnaitre. Un do joué sur un piano,
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une guitare, une flute reste un do. Ce qui permet de savoir si il
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s'agit d'un piano, guitare ou flute est le *timbre* de
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l'instrument. En terme de fréquences, le timbre ce traduit par une
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variation des amplitudes (propre à chaque instruments) des harmoniques.
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.. note::
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La video suivante illustre bien ce concept: `Les harmoniques d'une note <https://www.youtube.com/watch?v=sPOLR60ADs8>`__
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Gamme Pythagoricienne
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En musique, un intervalle est la rapport de deux fréquences.
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Un octave corresponds à deux fois la fréquence initiale :math:`f_{octave}=2f_0`.
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Il s'agit d'un intervalle important car il sonne extrêmement juste lorsque l'on joue :math:`f_0` et :math:`f_{octave}` simulatanement.
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On note également que le passage à l'octave :math:`f_{octave_i}=2^i*f_0` est une opération qui ne change pas la note de départ!
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Ainsi, diviser/multiplier une fréquence par 2, une ou plusieurs fois, laisse la note inchangée.
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Un concept très important sur lequelle repose la gamme Pythagoricienne.
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En multipliant par 3 une fréquence :math:`f_0`, on obtient une note
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qui correspond quasiment à la quinte de celle-ci. Pourquoi? Car si on
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ramène cette quinte sur l'octave the :math:`f_0` (en divisant par 2),
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on obtient une fréquence qui correspond quasiment la quinte de cette
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octave. Pour rappel, diviser par deux ne change pas la note!
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En répétant ce principe, Pythagore ajoute 12 nouvelle notes l'octave.
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En partant d'une fréquence :math:`f_0`, il créer une quinte :math:`f_a=3f_0`. Puis il prends à nouveau la quinte de :math:`f_b=3f_a`.
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On oubli pas de divisé chacunes de ce nouvelles fréquences par 2 jusqu'a retomber dans l'octave de :math:`f_0`.
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C'est à dire une fréquence :math:`f` tel que :math:`f_0<f<2f_0`.
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Pourquoi 12 notes? Car si on en créer une :math:`13^{ème}`, on retombe **quasiment** sur :math:`f_0`.
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Il est donc inutile de poursuivre.
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En effet, :math:`\frac{3}{2}^{12}f_0 = 129.7f_0 \approx 128f_0 = 2^7f_0` ce qui corresponds à :math:`f_0` joué à 7 octaves plus haut.
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Ramener cela à l'octave de :math:`f_0` celà corresponds **quasiment** à :math:`f_0` joué 1 octave plus haut.
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Voici comment générer la gamme Pythagoricienne:
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.. literalinclude:: code/pythagoricienne.R
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:language: R
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Le fait que l'on ne retombe pas éxactement à l'octave suppèrieure créer ce que l'on appèle une *quinte du loup*.
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Ainsi, la dernière quinte de la gamme Pythagoricienne ne sonne pas *juste*.
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.. figure:: figures/quinte_loup.jpg
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:width: 300px
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:align: center
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Quinte du loup
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De la même manière, l'intervalles de Tierce majeurs (de do à ré) ne tombe pas juste.
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Pour résoudre ce problème, on pouvait utiliser le *tempérament mésotonique* (au lieu de multiplier par :math:`\frac{3}{2}`, on multipli par :math:`1.495^4` pour calculer les quintes).
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Grace à cela, les tierces tombents juste! Au prix de quintes qui le sont un peu moin.
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Par contre, cela agrave la quinte du loup.
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En réalité, il y a plusieurs *tempérament mésotoniques*!
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Chaque musiciens utilisait celui qui permettait de s'accommoder au mieux à ça pratique.
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Historiquement, cela a eu un impacte sur la façon de composé.
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On choisisait les accords qui sonnent le mieux avec le *tempérament mésotoniques* utilisé.
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.. note::
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Excellentes vidéos sur le sujet: `Antoine Houlou-Garcia <https://www.youtube.com/watch?v=RO5qmvgTH5E>`__, `ScienceÉtonnante <https://www.youtube.com/watch?v=cTYvCpLRwao>`__
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Gamme Tempéré
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