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Harmoniques
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Timbre
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Lorsque l'on joue une note à l'aide d'un intruments, celui-ci sonne à
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une frequence :math:`f_0` (appelée *fondamentale*) ainsi qu'à plusieurs
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multiples de cette fréquence :math:`f_i=(i+1)\times f_0` (appelées *harmoniques*).
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En jouant un do, on entends la superposition de la fondamentale et de des harmoniques.
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Chacunes de ces harmoniques corresponds à l'une des 12 notes de musique jouée à des hauteurs (octaves) différentes.
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.. note::
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La video suivante illustre bien ce concept: `Les harmoniques d'une note <https://www.youtube.com/watch?v=sPOLR60ADs8>`__.
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.. figure:: figures/harmoniques.svg
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:width: 500px
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:align: center
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Représentation des harmoniques d'une fréquence :math:`f_0` (tout en haut) en faisant vibrer une corde
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Le signal produit par une cordre vibrant à une fréquence :math:`f_0` contient les fréquences suivantes:
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.. list-table:: Associations fréquences, notes et intervalles (`source <http://decouverte.orgue.free.fr/r_harmon.htm>`__). Note: do 0 est le do du premier octave, do 1 est le do du deuxième octave etc.
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:align: center
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:header-rows: 1
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* - Fréquence
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- Note
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- Intervalle
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* - :math:`f_0`
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- do 0
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- fondamentale
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* - :math:`2f_0`
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- do 1
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- octave
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* - :math:`3f_0`
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- sol 1
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- quinte
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* - :math:`4f_0`
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- do 2
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- octave
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* - :math:`5f_0`
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- mi 2
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- tierce
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* - :math:`6f_0`
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- sol 2
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- quinte
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* - :math:`7f_0`
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- sib 2
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- septième mineur
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L'origine des termes octave, quinte tierce etc, seront expliqué dans un prochain chapitre.
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Ici, ces intervalles correspondent à la distance entre l'harmonique considéré :math:`f_i`, et la fondamental :math:`f_0`, lorsque :math:`f_i` est ramené sur le même octave que :math:`f_0`.
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La distance entre une fréquence :math:`f_a` et :math:`f_b` se calcule en faisant un ratio :math:`\frac{f_a}{f_b}`.
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Comment la fréquence d'une harmonique :math:`f_i` à l'octave de :math:`f_0`?
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Diviser ou multiplier une fréquence par deux ne change pas la note.
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Ainsi, en divisant par deux autant de fois que nécessaire jusqu'à ce que :math:`f_0 \le f_i \le 2f_0` on ramène l'harmonique à l'octave de la fondamentale.
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Le code source suivant détermine pour chacune des harmoniques la note associé ainsi que le facteur ramenant à l'octave. Attention, je ne l'ai pas vérifié:
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.. _harmoniques_prog:
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.. literalinclude:: code/harmoniques.R
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:language: R
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Example de sortie du programme:
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.. code-block:: console
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1f do 1/1
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2f do 2/1
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3f sol 3/2
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4f do 4/2
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5f mi 5/4
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6f sol 6/4
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7f la#/sib 7/4
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8f do 8/4
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Le *timbre* corresponds aux caracteristiques propres au son d'un
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instruments, ce qui permet de le reconnaitre. Un do joué sur un piano,
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une guitare, une flute reste un do. Ce qui permet de savoir si il
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s'agit d'un piano, guitare ou flute est le *timbre* de
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l'instrument. En terme de fréquences, le timbre ce traduit par une
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variation des amplitudes (propre à chaque instruments) des harmoniques.
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Gamme Pythagoricienne
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.. _pythagoricienne:
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En musique, un intervalle est la rapport de deux fréquences.
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Un octave corresponds à deux fois la fréquence initiale :math:`f_{octave}=2f_0`.
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Il s'agit d'un intervalle important car il sonne extrêmement juste lorsque l'on joue :math:`f_0` et :math:`f_{octave}` simulatanement.
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Pour rappel, le passage à l'octave :math:`f_{octave_i}=2^i*f_0` est une opération qui ne change pas la note de départ!
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Ainsi, diviser/multiplier une fréquence par 2, une ou plusieurs fois, laisse la note inchangée.
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Un concept très important sur lequelle repose la gamme Pythagoricienne.
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En multipliant par 3 une fréquence :math:`f_0`, on obtient une note
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qui correspond quasiment à la quinte de celle-ci. Pourquoi? Car si on
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ramène cette quinte sur l'octave the :math:`f_0` (en divisant par 2),
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on obtient une fréquence qui correspond quasiment la quinte de cette
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octave. Pour rappel, diviser par deux ne change pas la note!
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En répétant ce principe, Pythagore ajoute 12 nouvelle notes l'octave.
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En partant d'une fréquence :math:`f_0`, il créer une quinte :math:`f_a=3f_0`. Puis il prends à nouveau la quinte de :math:`f_b=3f_a`.
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On oubli pas de divisé chacunes de ce nouvelles fréquences par 2 jusqu'a retomber dans l'octave de :math:`f_0`.
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C'est à dire une fréquence :math:`f` tel que :math:`f_0<f<2f_0`.
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Pourquoi 12 notes? Car si on en créer une :math:`13^{ème}`, on retombe **quasiment** sur :math:`f_0`.
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Il est donc inutile de poursuivre.
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En effet, :math:`\frac{3}{2}^{12}f_0 = 129.7f_0 \approx 128f_0 = 2^7f_0` ce qui corresponds à :math:`f_0` joué à 7 octaves plus haut.
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Ramener cela à l'octave de :math:`f_0` celà corresponds **quasiment** à :math:`f_0` joué 1 octave plus haut.
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Voici comment générer la gamme Pythagoricienne:
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.. literalinclude:: code/pythagoricienne.R
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:language: R
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Le fait que l'on ne retombe pas éxactement à l'octave suppèrieure créer ce que l'on appèle une *quinte du loup*.
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Ainsi, la dernière quinte de la gamme Pythagoricienne ne sonne pas *juste*.
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.. figure:: figures/quinte_loup.jpg
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:width: 300px
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:align: center
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Quinte du loup
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De la même manière, l'intervalles de Tierce majeurs (de do à ré) ne tombe pas juste.
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Pour résoudre ce problème, on pouvait utiliser le *tempérament mésotonique* (au lieu de multiplier par :math:`\frac{3}{2}`, on multipli par :math:`1.495^4` pour calculer les quintes).
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Grace à cela, les tierces tombents juste! Au prix de quintes qui le sont un peu moin.
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Par contre, cela agrave la quinte du loup.
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En réalité, il y a plusieurs *tempérament mésotoniques*!
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Chaque musiciens utilisait celui qui permettait de s'accommoder au mieux à ça pratique.
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Historiquement, cela a eu un impacte sur la façon de composé.
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On choisisait les accords qui sonnent le mieux avec le *tempérament mésotoniques* utilisé.
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.. note::
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Excellentes vidéos sur le sujet: `Antoine Houlou-Garcia <https://www.youtube.com/watch?v=RO5qmvgTH5E>`__, `ScienceÉtonnante <https://www.youtube.com/watch?v=cTYvCpLRwao>`__
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Gamme Tempéré
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Il est possible de recontruire l'ensemble des notes d'une tonalité (ce terme sera dévelopé plus tard) pour que toutes les intervalles tombent justent (`source <https://www.youtube.com/watch?v=cTYvCpLRwao&t=383s>`__). On appelle cela la *gamme naturelle* ou *gamme juste* ou *gamme du physicien*.
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Sauf que l'on ne pourra pas changer de tonalité sans que celle-ci sonne fausse.
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Pour cela, il suffit de connaitre les ratios exactes de tierce (:math:`\frac{3}{2}`) ou de quintes (:math:`\frac{5}{4}`) et de contruire l'ensemble des notes avec.
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Grâce à cette approche, on peu en déduire la valeur théorique de chacune des intervalles en musique.
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Par example, pour la seconde majeur, on sait que la deuxième quinte de do est ré (intervalle de seconde majeur). On sait également que :math:`f_{do}=261.63` Hz. Ainsi, :math:`f_{ré}=\frac{\frac{3}{2}^2f_{do}}{\underbrace{2}_{\text{Ramène la note à l'octave}}}=294.3293` Hz. En faisant le rapport des fréquences on obtient le ratio d'une seconde majeur :math:`\frac{294.3293}{261.63}=1.125=\frac{9}{8}`.
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Le programme suivant génère l'ensemble des fréquence théorique de chacune des notes de la gamme naturelle:
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.. literalinclude:: code/gamme_naturelle.R
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:language: R
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Sortie du programme:
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.. code-block:: console
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do 261.63Hz
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do#reb 272.53125Hz
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re 294.33375Hz
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re#/mib 306.59765625Hz
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mi 327.0375Hz
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fa 348.84Hz
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fa#/solb 367.9171875Hz
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sol 392.445Hz
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sol#/lab 408.796875Hz
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la 436.05Hz
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la#/sib 459.896484375Hz
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si 490.55625Hz
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Comme on ne peut pas utiliser toutes les tonalités avec une gamme parfaitement accordée, la *gamme tempéré* propose de répartir l'ensemble des désaccords sur toutes les notes.
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Il s'agit de l'accordage utilisé de nos jours.
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Ansi, pour passer d'une note à la suivante, on multiplie par facteur :math:`2^\frac{1}{12}`.
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Le code suivant génère l'ensemble des notes de la *gamme tempérée*:
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.. literalinclude:: code/temperee.R
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:language: R
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.. list-table:: Exemple d'approximations des intervalles faites par la gamme tempérée. Tout les intervalles sont légèrement faux à part l'octave.
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:align: center
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:header-rows: 1
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* - Intervalle
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- Valeur théorique
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- Valeur de la gamme tempérée
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* - Seconde
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- :math:`\frac{9}{8}=1.125`
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- :math:`2^\frac{2}{12}=1.222462`
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* - Tierce
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- :math:`\frac{5}{4}=1.25`
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- :math:`2^\frac{4}{12}=1.259921`
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* - Quarte
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- :math:`\frac{21}{16}=1.3125`
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- :math:`2^\frac{5}{12}=1.33484`
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* - Quinte
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- :math:`\frac{3}{2}=1.5`
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- :math:`2^\frac{7}{12}=1.498307`
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* - Octave
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- :math:`2`
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- :math:`2^\frac{12}{12}=2`
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