Harmoniques ------------ Timbre ======== Lorsque l'on joue une note à l'aide d'un intruments, celui-ci sonne à une frequence :math:`f_0` (appelée *fondamentale*) ainsi qu'à plusieurs multiples de cette fréquence :math:`f_i=(i+1)\times f_0` (appelées *harmoniques*). En jouant un do, on entends la superposition de la fondamentale et de des harmoniques. Chacunes de ces harmoniques corresponds à l'une des 12 notes de musique jouée à des hauteurs (octaves) différentes. .. note:: La video suivante illustre bien ce concept: `Les harmoniques d'une note `__. .. figure:: figures/harmoniques.svg :width: 500px :align: center Représentation des harmoniques d'une fréquence :math:`f_0` (tout en haut) en faisant vibrer une corde Le signal produit par une cordre vibrant à une fréquence :math:`f_0` contient les fréquences suivantes: .. list-table:: Associations fréquences, notes et intervalles (`source `__). Note: do 0 est le do du premier octave, do 1 est le do du deuxième octave etc. :align: center :header-rows: 1 * - Fréquence - Note - Intervalle * - :math:`f_0` - do 0 - fondamentale * - :math:`2f_0` - do 1 - octave * - :math:`3f_0` - sol 1 - quinte * - :math:`4f_0` - do 2 - octave * - :math:`5f_0` - mi 2 - tierce * - :math:`6f_0` - sol 2 - quinte * - :math:`7f_0` - sib 2 - septième mineur L'origine des termes octave, quinte tierce etc, seront expliqué dans un prochain chapitre. Ici, ces intervalles correspondent à la distance entre l'harmonique considéré :math:`f_i`, et la fondamental :math:`f_0`, lorsque :math:`f_i` est ramené sur le même octave que :math:`f_0`. La distance entre une fréquence :math:`f_a` et :math:`f_b` se calcule en faisant un ratio :math:`\frac{f_a}{f_b}`. Comment la fréquence d'une harmonique :math:`f_i` à l'octave de :math:`f_0`? Diviser ou multiplier une fréquence par deux ne change pas la note. Ainsi, en divisant par deux autant de fois que nécessaire jusqu'à ce que :math:`f_0 \le f_i \le 2f_0` on ramène l'harmonique à l'octave de la fondamentale. Le code source suivant détermine pour chacune des harmoniques la note associé ainsi que le facteur ramenant à l'octave: .. literalinclude:: code/harmoniques.R :language: R Le *timbre* corresponds aux caracteristiques propres au son d'un instruments, ce qui permet de le reconnaitre. Un do joué sur un piano, une guitare, une flute reste un do. Ce qui permet de savoir si il s'agit d'un piano, guitare ou flute est le *timbre* de l'instrument. En terme de fréquences, le timbre ce traduit par une variation des amplitudes (propre à chaque instruments) des harmoniques. Gamme Pythagoricienne ====================== .. _pythagoricienne: En musique, un intervalle est la rapport de deux fréquences. Un octave corresponds à deux fois la fréquence initiale :math:`f_{octave}=2f_0`. Il s'agit d'un intervalle important car il sonne extrêmement juste lorsque l'on joue :math:`f_0` et :math:`f_{octave}` simulatanement. Pour rappel, le passage à l'octave :math:`f_{octave_i}=2^i*f_0` est une opération qui ne change pas la note de départ! Ainsi, diviser/multiplier une fréquence par 2, une ou plusieurs fois, laisse la note inchangée. Un concept très important sur lequelle repose la gamme Pythagoricienne. En multipliant par 3 une fréquence :math:`f_0`, on obtient une note qui correspond quasiment à la quinte de celle-ci. Pourquoi? Car si on ramène cette quinte sur l'octave the :math:`f_0` (en divisant par 2), on obtient une fréquence qui correspond quasiment la quinte de cette octave. Pour rappel, diviser par deux ne change pas la note! En répétant ce principe, Pythagore ajoute 12 nouvelle notes l'octave. En partant d'une fréquence :math:`f_0`, il créer une quinte :math:`f_a=3f_0`. Puis il prends à nouveau la quinte de :math:`f_b=3f_a`. On oubli pas de divisé chacunes de ce nouvelles fréquences par 2 jusqu'a retomber dans l'octave de :math:`f_0`. C'est à dire une fréquence :math:`f` tel que :math:`f_0`__, `ScienceÉtonnante `__ Gamme Tempéré ==============